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R6 Also,thisgivesanotheropportunitytodiscussthelimitationsofextrapolation.#X,XXX,?#a  *Ka  7 X,XXX,2_bRNz|d$ ` 3 3333@@@E$q  !$r2!hXTz~  ` 3 3333'@@@E# { " n U" 2hXTz~  ` 3 3333'@@@E{ { " n     P     X   2_eUQz|n$ ` 3 3333'@@@E{ q  r  8      P  2bRNz|%Zx ` 3 3333@@@Ex%ZA )x Z$ 2bRNz|%Zx ` 3 3333@@@Ex%ZA )x Z$  2bRNz|$Zx ` 3 3333@@@EP$ZA )x Z!$ #X,XXX,@#X,XXX,oG  |+&E Inacalculussetting,onecanthenaskquestionsregardingthebehaviorofthisfunction.For instance,wheredothemaximumandminimumoccur,andwhatsignificance,ifany,dotheyhave?Or,moresignificantly,wheredoesthecubichaveitspointofinflectionwherethenumberofcasesofAIDSisgrowingmostrapidly.Or,inacalculuscoursewheremodelsbasedondifferentialequationsisamajortheme,theuseofrealdatacanbeanessentialcomponentintermsofestimatingparametersforasolution.Forinstance,thepopulationoftheU.S.canserveasthebasisforalovelystudentexercisetodeterminevaluesforthecoefficientsinalogisticmodel.Asthestudentsarelearningtheideasofthecalculus,theyaresimultaneouslyreplicatingthekindofworkthataprofessionalscientistwoulddotoanalyzethedata.̀Inadifferentialequationscourse,eithertheinstructor(onaclassroomdemonstrationbasis)orthestudents(inalabsetting)canconductsomesimpledatacollectionexperimentsusingtoolssuchastheCBL.Forinstance,thefollowingdatawascollectedinanexperimentontherateatwhichthetemperature(in$C)dropsasafunctionoftime(inseconds)whenaheated X  objectisimmersedincoldwater.#X,XXX,wG# 0  *cRddddd ctd cctd cct c>?##,X$$ ,w$$ ,$$ ,$$ ,$$ ,$$ ,$$ ,$$ ,$$ ,$$ ,$$ ,$$ ,$$ ,$$ ,$$ ,$$ ,$$ +  # X 0#\&XX,Time F<8  ?1?F 1 e[18"  ?1 ?  @2@e2 e[18"  @2 @  @3@e3 e[18"  @3 @  @4@e4 e[18"  @4 @  @5@e5 e[18"  @5 @  @6@e6 e[18"  @6 @  @7@e7 e[18"  @7 @   @8 @e8 e[18"   @8  @  "@9"@e9 f\18"  "@9 "@  $@10$@f10 g]28"  $@10 $@  &@11&@g11 g]28"  &@11 &@  (@12(@g12 g]28"  (@12 (@  *@13*@g13 g]28"  *@13 *@  ,@14,@g14 g]28 "  ,@14 ,@  .@15.@g15 g]28!"  .@15 .@  0@160@g16 QG88""  0@16 00 0@ 0QTemp @6p# fffff&E@42.3fffff&E@@42.3 @6+p$ fffff&E@42.3 fffff&E@ @36.03 A7p%3 >@30.85>@A30.85 [Q,p& >@30.85 >@ Q:@26.77Q:@[26.77 [Q,p' Q:@26.77 Q:@ Gz7@23.58Gz7@[23.58 [Q,p( Gz7@23.58 Gz7@ Gz4@20.93Gz4@[20.93 [Q,p) Gz4@20.93 Gz4@  ףp=2@18.79 ףp=2@[18.79 [Q,p*  ףp=2@18.79  ףp=2@ Gz1@17.08Gz1@[17.08 [Q,p+ Gz1@17.08 Gz1@ p= ף/@15.82p= ף/@[15.82 [Q,p, p= ף/@15.82 p= ף/@  ףp=-@14.77 ףp=-@[14.77 [Q,p-  ףp=-@14.77  ףp=-@ p= ף+@13.82p= ף+@[?+ 4 <DL!X?13.82 [Q,p. p= ף+@13.82 p= ף+@ Q8*@13.11Q8*@[13.11#X,X&\O#\&XX, [Q,p/ Q8*@13.11 Q8*@ Q)@12.51Q)@[12.51#X,X&\V[#\&XX, [Q,p0 Q)@12.51 Q)@ R'@11.91R'@[11.91#X,X&\[#\&XX, [Q,p1 R'@11.91 R'@ Gz'@11.54Gz'@[11.54#X,X&\\#\&XX, [Q,p2 Gz'@11.54 Gz'@ ףp= W&@11.17ףp= W&@[11.17#X,X&\<]#\&XX,B86p3 ףp= W&@11.17 00  ףp= W&@ B*eRfddX$$ Xw$$ w$$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ cRd##, $$ ,$$ ,$$ ,,$$ ,,$$ ,w$$ ,w$$ ,w$$ ,w$$ ,w$$ ,w$$ ,w$$ ,w$$ ,w$$ ,w$$ ,w$$ ,w$$ ,w$$ ,w$$ ,w$$ +   :0 P4  1@1701@: ?5 g"C k 1@1701@?17 ^T)5  1@17 1@  2@182@^18 g]26"  2@18 2@  3@193@g19 g]27"  3@19 3@  4@204@g20 g]28"  4@20 4@  5@215@g21 g]29"  5@21 5@  6@226@g22 g]2:"  6@22 6@  7@237@g23 g]2;"  7@23 7@  8@248@g24 g]2<"  8@24 8@  9@259@g25 g]2="  9@25 9@  :@26:@g26 g]2>"  :@26 :@  ;@27;@g27 g]2?"  ;@27 ;@  <@28<@g28 g]2@"  <@28 <@  =@29=@g29 g]2A"  =@29 =@  >@30>@g30 g]2B"  >@30 >@  ?@31?@g31 g]2C"  ?@31 ?@  @@32@@g32 g]2D"  @@32 @@  @@33@@g33 g]2E"  @@33 @@  A@34A@g34 g]2F"  A@34 A@  A@35A@g35 g]2G"  A@35 A@  B@36B@g36 ka8H"  B@36 00 B@ ףp= W%@10.670ףp= W%@k10.67 [Q,I ףp= W%@10.67 ףp= W%@ ףp= $@10.42ףp= $@[10.42 [Q,J ףp= $@10.42 ףp= $@ ףp= W$@10.17ףp= W$@[10.17 YO,K ףp= W$@10.17 ףp= W$@ #@9.9#@Y9.9 WM*L #@9.9 #@ #@9.8#@W9.8 XN*M #@9.8 #@ ףp= W#@9.67ףp= W#@X9.67 YO+N ףp= W#@9.67 ףp= W#@ Gz#@9.54Gz#@Y9.54 YO+O Gz#@9.54 Gz#@ ףp= "@9.42ףp= "@Y9.42#X,X&\]#\&XX, bX+P ףp= "@9.42 ףp= "@ Gz"@9.29Gz"@b9.29 ka4Q3 Gz"@9.29 Gz"@ RQ"@9.16RQ"@k9.16 bX4R3 RQ"@9.16 RQ"@ RQ"@9.16RQ"@b9.16 YO+S RQ"@9.16 RQ"@ Gz"@9.04Gz"@Y9.04 YO+T Gz"@9.04 Gz"@ R!@8.91R!@Y8.91 YO+U R!@8.91 R!@ )\!@8.83)\!@Y8.83 YO+V )\!@8.83 )\!@ (\!@8.78(\!@Y8.78 YO+W (\!@8.78 (\!@ (\!@8.78(\!@Y8.78 YO+X (\!@8.78 (\!@ (\!@8.78(\!@Y8.78 YO+Y (\!@8.78 (\!@ (\!@8.78(\!@Y8.78 YO+Z (\!@8.78 (\!@ RQ!@8.66RQ!@Y?+ 4 <DL!X?8.66 YO+[ RQ!@8.66 RQ!@ RQ!@8.66RQ!@Y8.66 #X,X&\ym#A75\ RQ!@8.66 00  RQ!@ AX,XXX,xB2.p|1 `(EJY  >$ xAttheprecalculuslevel,wecouldsimplyattempttofitadecayingexponentialfunctiontothedata,afterfirsttransformingthedatawithaverticalshifttoreflectthefactthatthetemperaturedecaystothetemperatureofthewater,not0.Atamoresophisticatedlevel,wecanlookataplotofthe2bRNz|Zx ` 3 3333@@@EZA )x ZF differencesintemperature,_T_(asanapproximationtothederivativeT),versusthe  p`  G"G"temperaturereadings,asshowninFigure5.  Weimmediatelyobservethatthedatafalls  intoaremarkablylinearpattern.Theequa  tionofbestfitlineis#X,XXX,r# d  @ H _T_󀀀=0.1851T+1.6740X,XXX,.#X,XXX,w#Ԁ X e  Thecorrespondingcorrelationcoefficientis  r=0.9976,whichindicatesanalmost "Xg   perfectlinearfit.X,XXX,ԀIfwenowfactoroutthe "0h   coefficient#X,XXX,_y#Ԅ0.1851X,XXX,,weget#X,XXX,z#X,XXX,Ԁ #i  @66 H _T_#X,XXX,dz#X,XXX,Ԁ=#X,XXX,{#Ԅ0.1851(T󀀄9.04). $j  Noticethatthevalue9.04isactuallyfairly  closetothetemperatureofthecoldwaterX,XXX,, @&!l   sothatthissuggeststhatthechangein  temperatureisproportionaltothedifference  betweenthetemperatureoftheobjectand  G"G"thetemperatureofthemedium.This,ofcourse,isjustastatementofthediscreteformofNewtonsLawofCooling.Inthelimitasthelengthofthetimeintervalgoestozero,weobtainthecontinuousformulation,whichisoneofthestandardmodelsstudiedindifferentialequationscourses.But,bylookingattheactualdata,wecandeducetheprincipalratherthan (,x's statingitasthestartingpointforsolvingadifferentialequation.Certainly,thatfarbettermirrorsthescientificmethodthanarevelatoryapproachdoes.#X,XXX,6|#Similarly,atthedifferentialequationslevel,wecanintroduceasetofdatasuchasthepopulationoftheUnitedStatesovertime,whichcanbemodeledbyalogisticfunction.Workingwithandanalyzingsuchasetofdata,however,providesalovelycontextinwhichtointroducesomefairlysophisticatedmethodsforestimatingthecoefficientsofthelogisticdifferentialequation.Atthesametime,itprovidesthemotivationtoseewhyitisimportanttostudythesemethods.Atanycurriculumlevel,thereareseveraladditionaladvantagesandopportunitiesfor  p  emphasizingrealworlddata.Oneofthemostsignificantisthatitallowsustobroadenourassessmenttechniqueswhilesimultaneouslylettingthestudentsmakethemathematicstheirown.Thisisaccomplishedbyhavingeachstudent(orsmallgroupofstudents)conductoneormoreindividualstudiesinwhicheachstudentcollectsorfindsasetofdataonsometopicofinteresttohimselforherself.Thedatamightcomefromanothertextbook,fromanexperimentconductedinalabcourse,offtheWeb,orfromsomegeneralreferencesourcesuchastheStatisticalAbstractsoftheU.S.Atanalgebralevel,thestudentwouldhavetoplotthe X points,estimatethebestfitlinebyeye,anduseittoanswerquestionsX,XXX,thatthestudentraises#X,XXX,a#X,XXX, 0 abouttheprocessbeingstudied.Theresultswouldthenbesubmittedinaformalprojectreport.Atamoresophisticatedlevel,whendifferentfamiliesoffunctionsarebeingstudied,studentscanbeaskedtoconductcomparablestudieswheretheyfindthebestfunctionfromeachfamilyandanswerthequestionstheyraiseusingeachofthemodelstheycreated.Similarly,atthecalculuslevel,comparablestudiescanbeperformedtodeterminethebehaviorofthefunctionscreated.Thisisespeciallyappropriateinappliedcalculuscoursesforbusinessandothernonsciencemajors.Thesetypesofprojectsarekeytogettingthestudentstorealizethatthemathematicstheyarelearningistheirown,notours.Itisnottheapplicationsthatweasfacultyareinterestedin,butratherthetopicsthatthestudentsfindinterestingthattheyarestudying;asaresult,theyseethatthemathematicstheyarelearningisdefinitelysomethingthattheycanandwillapplyintheirpersonalandprofessionallives.#X,XXX,ͺ#X,XXX, ( #X,XXX,#X,XXX,Ineachoftheseactivities,thestudentsarelearningmoremathematicsatamoresophisticatedlevel,andsimultaneouslygainingadeeperappreciationforthevalueofwhattheyarelearning.Asmathematicseducators,whatmorecanweaskfor?#X,XXX,k#X,XXX, 8"# #X,XXX,ͣ#X,XXX, #X,XXX,#X,XXX,&̕)%XX,References #X,X)%&̕_# #8% #X,XXX,@#X,XXX,1.Patrick,A.Richard,ArleneKleinstein,etal,(TheConsortiumforFoundationMathemat $ & ics),MathematicsinAction,AddisonWesley,1998. % ' 2.Gordon,SheldonP.,FlorenceS.Gordon,etal,FunctioningintheRealWorld:A p&!( PreCalculusExperience#X,XXX,#X,XXX,,AddisonWesley,1996. 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